一次函数
知识回放
名师精讲
考点一 根据正比例的定义求函数表达式
例1 (泰州市高港区期末)已知y与x+1成正比例,且当x=1时,y=6.
(1) 求表达式;
(2) 求当x=-3时,y的值.
解析:(1)根据题意设出函数表达式,把当x=1时,y=6代入表达式,便可求出未知数的值,从而求出其表达式;(2)把x=-3代入可得出y的值.
解:(1) 由题意可得y=k(x+1)(k≠0).把当x=1时,y=6代入,得6=k(1+1),解得k=3,故一次函数的表达式为y=3x+3.
(2) 把x=-3代入,得y=3×(-3)+3=-6.
点评:解答这类问题的基本思路是首先根据正比例的定义设出表达式,再根据条件求出待定系数,本题常见错误是设函数表达式为y=kx,即误认为y与x成正比例.
考点二 点在图像上的相关问题
例2 (南京市雨花区期末)点(m,n)在函数y=2x+1的图像上,则2m-n的值是( )
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
解析:因为点(m,n)在函数y=2x+1的图像上,所以有n=2m+1,即2m-n=-1,故选D.
答案:D
点评:点坐标在某一函数图像上,则这点满足表达式,反之也成立
考点三 根据图像确定系数的正负
例3 (无锡市江阴市期末)已知一次函数y=mx+n-2的图像如图1所示,则m、n的取值范围是( )
图1
A. m>0,n<2 B. m>0,n>2
C. m<0,n<2 D. m<0,n>2
解析:先根据一次函数的图像经过第二、四象限可知m<0,再根据函数图像与y轴交于正半轴可知n-2>0,进而可得出结论.
答案:D
点评:直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系.当k>0时,直线必经过一、三象限;当k<0时,直线必经过二、四象限.当b>0时,直线与y轴正半轴相交;当b=0时,直线过原点;当b<0时,直线与y轴负半轴相交.
考点四 一次函数的图像与几何变换
例4 (盐城市大丰市期末)(1) 求直线y=2x-4向上平移2个单位所得的直线的函数表达式;
(2) 求直线y=2x-4向左平移4个单位所得的直线的函数表达式;
(3) 求直线y=2x-4关于直线y=-x轴对称的直线的函数表达式.
解析:(1)平移不改变k的值.向上平移2个单位时,将原直线的函数表达式的常数项加2即可;
(2)平移不改变k的值,设出相应的直线的函数表达式,从原直线的函数表达式上找一个点,然后找到向左平移4个单位得到的点,代入设出的直线的函数表达式,即可求得b,也就求得了所求的直线的函数表达式;
(3)从原直线上找两点,进而找到关于直线y=-x对称的点,代入直线的函数表达式即可求解.
解:(1) 因为向上平移2个单位,所以新函数的k=2,b=-4+2=-2,所以得到的直线所对应的函数表达式是y=2x-2.
(2) 因为是平移得到,所以可设新直线的函数表达式为y=2x+b.因为原直线经过点(0,-4),所以向左平移4个单位得到的点为(-4,-4),代入新直线的函数表达式得b=4,所以新直线的函数表达式为y=2x+4.
(3) 原直线上的两点为(0,-4)、(2,0),关于y=-x的对称点为(4,0)、(0,-2),设新直线表达式为y=kx+b(k≠0),则4k+b=0,b=-2,解得k=2,所以新直线的函数表达式为y=2x-2.
点评:一次函数y=kx+b的图像是由正比例函数y=kx的图像沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的一条直线.由正比例函数y=kx的图像沿x轴向左平移m(m>0)个单位,得到的一次函数表达式为y=k(x+m)=kx+km;沿x轴向右平移m(m>0)个单位,得到的一次函数表达式为y=k(x-m)=kx-km.这个规则可简单概括为“上加下减外,左加右减内”.
考点五 待定系数法求一次函数的表达式
例5 (盐城市期末)在平面直角坐标系xOy中,直线l过(1,3)和(3,1)两点,且与x轴,y轴分别交于A、B两点.
(1) 求直线l的函数表达式;
(2) 求△AOB的面积.
图2
解析:(1) 把两点坐标代入函数表达式得到关于k、b的二元一次方程组并求解即可得到函数表达式;(2) 求出直线与坐标轴的交点,代入三角形面积公式即可.
点评:确定一次函数表达式的一般步骤:(1)设函数表达式为y=kx+b;(2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组);(3)求出k与b的值,得到函数表达式.
考点六 一次函数与二元一次方程组
图3
答案:A
点评:本题考查利用图像法求二元一次方程组的解,关键是理解二元一次方程组的解的几何意义.二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成,而每个一次方程的图像都是一条直线,两条直线的交点坐标表示该方程组中各个方程的公共解,也就是这个二元一次方程组的解.
考点七 一次函数与一元一次不等式
名师精讲
考点一 根据正比例的定义求函数表达式
例1 (泰州市高港区期末)已知y与x+1成正比例,且当x=1时,y=6.
(1) 求表达式;
(2) 求当x=-3时,y的值.
解析:(1)根据题意设出函数表达式,把当x=1时,y=6代入表达式,便可求出未知数的值,从而求出其表达式;(2)把x=-3代入可得出y的值.
解:(1) 由题意可得y=k(x+1)(k≠0).把当x=1时,y=6代入,得6=k(1+1),解得k=3,故一次函数的表达式为y=3x+3.
(2) 把x=-3代入,得y=3×(-3)+3=-6.
点评:解答这类问题的基本思路是首先根据正比例的定义设出表达式,再根据条件求出待定系数,本题常见错误是设函数表达式为y=kx,即误认为y与x成正比例.
考点二 点在图像上的相关问题
例2 (南京市雨花区期末)点(m,n)在函数y=2x+1的图像上,则2m-n的值是( )
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
解析:因为点(m,n)在函数y=2x+1的图像上,所以有n=2m+1,即2m-n=-1,故选D.
答案:D
点评:点坐标在某一函数图像上,则这点满足表达式,反之也成立
考点三 根据图像确定系数的正负
例3 (无锡市江阴市期末)已知一次函数y=mx+n-2的图像如图1所示,则m、n的取值范围是( )
图1
A. m>0,n<2 B. m>0,n>2
C. m<0,n<2 D. m<0,n>2
解析:先根据一次函数的图像经过第二、四象限可知m<0,再根据函数图像与y轴交于正半轴可知n-2>0,进而可得出结论.
答案:D
点评:直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系.当k>0时,直线必经过一、三象限;当k<0时,直线必经过二、四象限.当b>0时,直线与y轴正半轴相交;当b=0时,直线过原点;当b<0时,直线与y轴负半轴相交.
考点四 一次函数的图像与几何变换
例4 (盐城市大丰市期末)(1) 求直线y=2x-4向上平移2个单位所得的直线的函数表达式;
(2) 求直线y=2x-4向左平移4个单位所得的直线的函数表达式;
(3) 求直线y=2x-4关于直线y=-x轴对称的直线的函数表达式.
解析:(1)平移不改变k的值.向上平移2个单位时,将原直线的函数表达式的常数项加2即可;
(2)平移不改变k的值,设出相应的直线的函数表达式,从原直线的函数表达式上找一个点,然后找到向左平移4个单位得到的点,代入设出的直线的函数表达式,即可求得b,也就求得了所求的直线的函数表达式;
(3)从原直线上找两点,进而找到关于直线y=-x对称的点,代入直线的函数表达式即可求解.
解:(1) 因为向上平移2个单位,所以新函数的k=2,b=-4+2=-2,所以得到的直线所对应的函数表达式是y=2x-2.
(2) 因为是平移得到,所以可设新直线的函数表达式为y=2x+b.因为原直线经过点(0,-4),所以向左平移4个单位得到的点为(-4,-4),代入新直线的函数表达式得b=4,所以新直线的函数表达式为y=2x+4.
(3) 原直线上的两点为(0,-4)、(2,0),关于y=-x的对称点为(4,0)、(0,-2),设新直线表达式为y=kx+b(k≠0),则4k+b=0,b=-2,解得k=2,所以新直线的函数表达式为y=2x-2.
点评:一次函数y=kx+b的图像是由正比例函数y=kx的图像沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的一条直线.由正比例函数y=kx的图像沿x轴向左平移m(m>0)个单位,得到的一次函数表达式为y=k(x+m)=kx+km;沿x轴向右平移m(m>0)个单位,得到的一次函数表达式为y=k(x-m)=kx-km.这个规则可简单概括为“上加下减外,左加右减内”.
考点五 待定系数法求一次函数的表达式
例5 (盐城市期末)在平面直角坐标系xOy中,直线l过(1,3)和(3,1)两点,且与x轴,y轴分别交于A、B两点.
(1) 求直线l的函数表达式;
(2) 求△AOB的面积.
图2
解析:(1) 把两点坐标代入函数表达式得到关于k、b的二元一次方程组并求解即可得到函数表达式;(2) 求出直线与坐标轴的交点,代入三角形面积公式即可.
点评:确定一次函数表达式的一般步骤:(1)设函数表达式为y=kx+b;(2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组);(3)求出k与b的值,得到函数表达式.
考点六 一次函数与二元一次方程组
图3
答案:A
点评:本题考查利用图像法求二元一次方程组的解,关键是理解二元一次方程组的解的几何意义.二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成,而每个一次方程的图像都是一条直线,两条直线的交点坐标表示该方程组中各个方程的公共解,也就是这个二元一次方程组的解.
考点七 一次函数与一元一次不等式
例7 (南京市秦淮区期末)如图4,函数y=2x和y=ax+4的图像相交于点A(m,3),则不等式2x<ax+4的解集为( )
图4
答案:A
点评:解答这类问题一般有两种思路:一种是将问题当成不等式来解,另一种思路是根据一次函数图像,结合图像的性质求解.在实际应用中应根据问题的特征选择合适的方法.
考点八 一次函数的实际应用
例8 (苏州市平江区期末)某学校组织了一次野外长跑活动,参加长跑的同学出发后,另一些同学从同地骑自行车前去加油助威.如图5,线段l1,l2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y(km)随时间x(min)变化的函数图像.根据图像,解答下列问题:
(1) 分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式;
(2) 求长跑的同学出发多少时间后,骑自行车的同学就追上了长跑的同学.
图5
解析:本题有两种思路:一种是根据一次函数知识,用待定系数法求出表达式;另一种思路是根据问题的实际意义来解.
解法一:利用图像可以读出函数的点的坐标,再利用待定系数法:
点评:处理这类问题通常有两种方法:一种是根据函数的有关性质解决问题,另外一种思路是根据问题的实际意义构建数学模型解决问题.本例中给出了这两种不同的思路,在解答这类问题时可以根据情况选用.
临门一脚
一次函数这一章是每年中考考查的重点,关键是正确理解一次函数的性质,要正确理解一次函数的系数与图像之间的关系,加强数形结合思想的运用,求一次函数表达式的基本方法是待定系数法.一次函数的实际应用也是中考考查的重点,关键是能正确理解图像中的信息,再结合一次函数的相关知识解答.
相关热词搜索:一次函数
上一篇:平面直角坐标系
下一篇:九年级数学-知识网络